Question

已知函数f(x)＝x²＋ln x－1.
(1)求函数f(x)在区间[1，e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值；
(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x³的图象的下方
(3)(理)求证：[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)≥2ⁿ－2(n∈N^*)

Answer 1

(1)∵f′(x)＝x＋，
当x∈[1，e]时，f′(x)>0.∴函数f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)_max＝f(e)＝e²，f(x)_min＝f(1)＝－.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x²＋ln x－1－x³
则F′(x)＝x＋－2x²＝
＝.
∵当x>1时F′(x)<0，∴函数F(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，∴F(x)<F(1)＝－1－<0，
即在(1，＋∞)上，f(x)<g(x)．
∴在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x³的图象的下方．
(3)(理)证明：∵f′(x)＝x＋，
当n＝1时，不等式显然成立；当n≥2时，
∵[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝ⁿ－
＝Cx^n－2＋Cx^n－3＋…＋C，①
[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝C＋C＋…＋Cx^n－2，②
①＋②得[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)＝
≥C＋C＋…＋C＝2ⁿ－2(当且仅当x＝1时“＝”成立)．
∴当n≥2时，不等式成立．
综上所述得[f′(x)]ⁿ－f′(xⁿ)≥2ⁿ－2(n∈N_＋)． 

略