题目内容

(本小题满分14分)
已知函数的减区间是
⑴试求的值;
⑵求过点且与曲线相切的切线方程;
⑶过点是否存在与曲线相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:⑴由题意知:的解集为
所以,-2和2为方程的根……2分
由韦达定理知,即m=1,n=0.……4分
⑵∵,∴,∵
当A为切点时,切线的斜率
∴切线为
; ……6分
当A不为切点时,设切点为,这时切线的斜率是
切线方程为,即   
因为过点A(1,-11), ,∴
,而为A点,即另一个切点为

切线方程为,即………………8分
所以,过点的切线为.…9分
⑶存在满足条件的三条切线.                                  
设点是曲线的切点,
则在P点处的切线的方程为 
因为其过点A(1,t),所以,,   
由于有三条切线,所以方程应有3个实根,        ……………11分
,只要使曲线有3个零点即可.
因为=0,∴
上单增,
上单减,
所以,为极大值点,为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当
解得  .                               ………14分
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