题目内容
(本小题满分14分)
已知函数的减区间是.
⑴试求、的值;
⑵求过点且与曲线相切的切线方程;
⑶过点是否存在与曲线相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知函数的减区间是.
⑴试求、的值;
⑵求过点且与曲线相切的切线方程;
⑶过点是否存在与曲线相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:⑴由题意知:的解集为,
所以,-2和2为方程的根……2分
由韦达定理知,即m=1,n=0.……4分
⑵∵,∴,∵
当A为切点时,切线的斜率,
∴切线为,
即; ……6分
当A不为切点时,设切点为,这时切线的斜率是,
切线方程为,即
因为过点A(1,-11), ,∴,
∴或,而为A点,即另一个切点为,
∴,
切线方程为,即………………8分
所以,过点的切线为或.…9分
⑶存在满足条件的三条切线.
设点是曲线的切点,
则在P点处的切线的方程为 即
因为其过点A(1,t),所以,,
由于有三条切线,所以方程应有3个实根, ……………11分
设,只要使曲线有3个零点即可.
因为=0,∴,
当时,在和上单增,
当时,在上单减,
所以,为极大值点,为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当即,
解得 . ………14分
所以,-2和2为方程的根……2分
由韦达定理知,即m=1,n=0.……4分
⑵∵,∴,∵
当A为切点时,切线的斜率,
∴切线为,
即; ……6分
当A不为切点时,设切点为,这时切线的斜率是,
切线方程为,即
因为过点A(1,-11), ,∴,
∴或,而为A点,即另一个切点为,
∴,
切线方程为,即………………8分
所以,过点的切线为或.…9分
⑶存在满足条件的三条切线.
设点是曲线的切点,
则在P点处的切线的方程为 即
因为其过点A(1,t),所以,,
由于有三条切线,所以方程应有3个实根, ……………11分
设,只要使曲线有3个零点即可.
因为=0,∴,
当时,在和上单增,
当时,在上单减,
所以,为极大值点,为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当即,
解得 . ………14分
略
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