题目内容

已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.
（Ⅰ）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数图像对称中心的坐标；
（Ⅲ）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数和，使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明).
（Ⅰ）,;（Ⅱ）;（Ⅲ）假命题, 修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.

试题分析：（Ⅰ）将向左平移个单位后得到的解析式是，然后向上平移2个单位得到，再根据题设的真命题得到图像对称中心的坐标是；（Ⅱ）设则的定义域关于原点对称，即是一个关于原点对称的区间，则，此时，再根据求得即可得图像对称中心的坐标是；（Ⅲ）举出这个反例即可说明此命题是假命题.
试题解析：（Ⅰ）平移后图像对应的函数解析式为，
∵，，∴是奇函数，
又由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是.
（Ⅱ）设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.
设则，
由不等式的解集关于原点对称,得.
此时.
任取，由，得，
所以函数图像对称中心的坐标是.
（Ⅲ）此命题是假命题.
举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数.
修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.
练习册系列答案
相关题目
已知 的内角A、B、C所对的边为， , ，且与所成角为.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域；
（3）先将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，再将的图象横坐标扩大到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求证：直线与的图象相切于
已知向量，，且.
（1）当时，求; 
（2）设函数，求函数的最值及相应的的值.
已知函数,.
（Ⅰ） 求的值；   
（Ⅱ） 若,,求.
已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小，
(2)若，求b的值．
已知＜β＜α＜π，sin(α＋β)＝，sin＝，则cos＝________.
定义运算，则函数的最小正周期为（ ）
A．4πB．2πC．πD．
已知, , 则的值为 (   )
A．
B．
C．
D．

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