Question

【题目】已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点， PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是( )

A. (，+) B. (，+) C. (，+) D. (0，+)

Answer 1

【答案】A

【解析】∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，

设左右焦点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，

∴设椭圆和双曲线的长轴长分别为2a1，2a2，焦距为2c，

设|PF1|=x，|PF2|=|F1F2|=y，

由题意得，

∵椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，

∴e1e2=，

由三角形三边关系得|F1F2|+|PF2|＞|PF1|＞|PF2|，

即2y＞x＞y，得到1＜＜2，

∴1＜（）2＜4，∴0＜（）2﹣1＜3，

根据复合函数单调性得到e1e2=＞．

故选A．