题目内容
12.已知向量$\overrightarrow{p}$=(sinx,$\sqrt{3}$cosx),$\overrightarrow{q}$=(cosx,cosx),定义函数f(x)=$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$,在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.(1)若f(B)=$\sqrt{3}$,求角B的大小;
(2)在(1)的条件下,若S△ABC=$\sqrt{3}$,b=2,且sinAcosC+3cosAsinC=0,求a,c的值.
分析 由平面向量数量积的坐标运算求得f(x)的解析式并化简.
(1)由f(B)=$\sqrt{3}$可得sin(2B+$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,然后结合B的范围求得B;
(2)由已知得到关于a,c的方程组,求解方程组得答案.
解答 解:f(x)=$\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}$=(sinx,$\sqrt{3}$cosx)•(cosx,cosx)=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin(2x+$\frac{π}{3}$)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)由f(B)=$\sqrt{3}$,得sin(2B+$\frac{π}{3}$)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$,
∴sin(2B+$\frac{π}{3}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∵0$<B<\frac{π}{2}$,∴$\frac{π}{3}<2B+\frac{π}{3}<\frac{4π}{3}$,
则$2B+\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$,即B=$\frac{π}{6}$;
(2)由sinAcosC+3cosAsinC=0,得sinB+2cosAsinC=0,
即b+2c$•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=0,∴2b2+c2-a2=0.
又B=$\frac{π}{6}$,∴sinB=sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$.
由S△ABC=$\frac{1}{2}ac•sinB$=$\sqrt{3}$,得:
$\frac{1}{4}ac=\sqrt{3}$,即$ac=4\sqrt{3}$ ①.
又由2b2+c2-a2=0,得a2-c2=8 ②.
联立①②解得$a=2\sqrt{3}$,c=2.
点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、诱导公式、倍角公式、三角形的面积计算公式、余弦定理,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.
A. | x=0 | B. | x=1 | C. | x=2 | D. | (2,0) |
A. | f(x1)>f(x2) | B. | f(-x1)>f(x2) | ||
C. | f(x1)<f(-x2) | D. | f(x1),f(x2)的大小与x1,x2的取值有关 |