题目内容
3.已知A={(x,y)|ax+by=1},B={(x,y)|x≥0,y≥1,x+y≤2},若A∩B≠∅恒成立,则2a+3b的取值范围是[$\frac{5}{2},3$].分析 由题意画出集合B所表示的图形,结合A∩B=∅得到a,b所满足的不等式组,由线性规划知识结合补集思想求得2a+3b的取值范围.
解答 解:由题意画出集合B所表示的图形如图,
若A∩B=∅,则$\left\{\begin{array}{l}{b-1>0}\\{2b-1>0}\\{a+b-1>0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b-1<0}\\{2b-1<0}\\{a+b-1<0}\end{array}\right.$.
令z=2a+3b.
作出可行域如图,
化z=2a+3b为$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$,
由图可知,当直线$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$过(0,1)时,z的值为3;
当直线$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$过($\frac{1}{2},\frac{1}{2}$)时,z的值为$\frac{5}{2}$.
由补集思想可得:若A∩B≠∅恒成立,则2a+3b的取值范围是[$\frac{5}{2},3$].
故答案为:[$\frac{5}{2},3$].
点评 本题考查交集及其运算,考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法,难度较大.
练习册系列答案
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{7}$ | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{21}$ |