Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d在（0，1）内既有极大值又有极小值，求c²+c（1+b）的值．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，由极值的定义可得f′（x）=0，即有x²+bx+c=0，由二次方程的实根分布可得判别式大于0，且两根介于0和1之间，可得-2＜b＜0，c＜$\frac{{b}^{2}}{4}$，运用不等式的性质和二次函数的最值求法，即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$bx²+cx+d，
f′（x）=x²+bx+c，
由极值点处导数值为0，即f′（x）=0，
故有x²+bx+c=0，
要使其有两个不同的实数解，
需要△=b²-4c＞0，
可解得4c＜b²      ①
又两个实数解分别是 
x₁=$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$，和x₂=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$，
都在（0，1）区间，即：
$\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$＞0，可推得：b＜0 且 c＞0    ②
$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}$＜1，可推得：b＞-2 且 c+b+1＞0  ③
由②③式可知-2＜b＜0 ④
由①可得c＜$\frac{{b}^{2}}{4}$
则c²+（1+b）c=c（c+1+b）＜$\frac{{b}^{2}}{4}$（$\frac{{b}^{2}}{4}$+1+b）
=$\frac{{b}^{2}}{4}$•$\frac{{（b+2）}^{2}}{4}$=$\frac{1}{16}$（b²+2b）²=$\frac{1}{16}$[（b+1）²-1]²，
由-2＜b＜0，可知$\frac{1}{16}$[（b+1）²-1]²∈（0，$\frac{1}{16}$]．
即有0＜c²+（1+b）c＜$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查导数的运用：求极值，主要考查二次方程的实根的分布，同时考查不等式的解法，运用二次函数的最值求法是解题的关键．