Question

6．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲、乙、丙面试合格的概率分别是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，且面试是否合格互不影响．求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；
（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出甲、乙、丙面试合格的概率，根据相互独立事件的概率，计算至少有1人面试合格的概率即可；
（Ⅱ）由ξ的可能取值，计算P（ξ），列出ξ的分布列，计算ξ的期望的值．

解答 解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格，
由题意知A，B，C相互独立，且P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{2}{3}$；
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
1-P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$）=1-P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）
=1-${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$
=$\frac{11}{12}$
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3；
P（ξ=0）=P（$\overline{A}$B$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$）
=P（$\overline{A}$）P（B）P（$\overline{C}$）+P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（C）+P（$\overline{A}$）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）
=${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$+${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$+${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$
=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=1）=P（A$\overline{B}$C）+P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$$\overline{C}$）
=P（A）P（$\overline{B}$）P（C）+P（A）P（B）P（$\overline{C}$）+P（A）P（$\overline{B}$）P（$\overline{C}$）
=${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$+${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$+${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$
=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=P（$\overline{A}$BC）
=P（$\overline{A}$）P（B）P（C）
=${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=3）=P（ABC）
=P（A）P（B）P（C）
=${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{6}$；
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

ξ的期望Eξ=0×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{1}{6}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率的计算问题，也考查了分布列与期望的计算问题，是基础题目．