Question

20．证明：函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x在其定义域内为减函数．

Answer 1

分析 可用减函数的定义证明该函数为减函数：定义域显然为R，在定义域内设任意的x₁＜x₂，然后作差，进行分子有理化及提取公因式x₁-x₂，证明f（x₁）＞f（x₂）即可得出该函数在定义域内为减函数．

解答 证明：该函数的定义域为R，设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-{x}_{1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}+{x}_{2}$=$（\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}）+（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}$；
${x}_{1}+{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$（{x}_{1}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}）+（{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}）$＜0；
∵x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}-\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1}+\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+1}}＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴该函数在其定义域内为减函数．

点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后一般提取公因式x₁-x₂，以及分子有理化的方法．