题目内容
【题目】已知函数φ(x)= ,a>0
(1)若函数f(x)=lnx+φ(x),在(1,2)上只有一个极值点,求a的取值范围;
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且对任意x1 , x2∈(0,2],且x1≠x2 , 都有 <﹣1,求a的取值范围.
【答案】
(1)解: f(x)=lnx+φ(x)=lnx+ ,(x>0,a>0),
f′(x)= ﹣
,
当f′(1)f′(2)<0时,函数f(x)在区间(1,2)上只有一个极值点,
即为(1﹣ a)(
﹣
a)<0,
解得:4<a< ;
(2)解:∵ <﹣1,
∴有 +1<0,
∴ <0,
设h(x)=g(x)+x,依题意,h(x)在(0,2]上是减函数.
当1≤x≤2时,h(x)=lnx+ +x,h′(x)=
﹣
+1,
令h′(x)≤0,得:a≥ +(x+1)2=x2+3x+
+3对x∈[1,2]恒成立,
设m(x)=x2+3x+ +3,则m′(x)=2x+3﹣
,
∵1≤x≤2,∴m′(x)=2x+3﹣ >0,
∴m(x)在[1,2]上递增,则当x=2时,m(x)有最大值为 ,
∴a≥ ;
当0<x<1时,h(x)=﹣lnx+ +x,h′(x)=﹣
﹣
+1,
令h′(x)≤0,得:a≥﹣ +(x+1)2=x2+x﹣
﹣1,
设t(x)=x2+x﹣ ﹣1,则t′(x)=2x+1+
>0,
∴t(x)在(0,1)上是增函数,
∴t(x)<t(1)=0,
∴a≥0
【解析】(1)求出函数的导数,得到f′(1)f′(2)<0,解出即可;(2)设h(x)=g(x)+x,依题意得出h(x)在(0,2]上是减函数.下面对x分类讨论:①当1≤x≤2时,②当0<x<1时,利用导数研究函数的单调性从及最值,即可求得求a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的倾斜角;
(2)设点,直线
和曲线
交于
两点,求
的值.
【题目】微信红包是一款年轻人非常喜欢的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各种型号的手机在相同环境下抢到红包的个数进行统计,得到如下数据:
品牌 型号 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
甲品牌(个) | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(个) | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
红包个数 手机品牌 | 优良 | 一般 | 合计 |
甲品牌(个) | |||
乙品牌(个) | |||
合计 |
(Ⅰ)如果抢到红包个数超过个的手机型号为“优良”,否则为“一般”,请完成上述表格,并据此判断是否有
的把握认为抢到红包的个数与手机品牌有关?
(Ⅱ)不考虑其它因素,现要从甲、乙两品牌的种型号中各选出
种型号的手机进行促销活动,求恰有一种型号是“优良”,另一种型号是“一般”的概率;
参考公式:随机变量的观察值计算公式:
,
其中.临界值表:
0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |