题目内容
已知椭圆
的方程为
，双曲线
的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线
与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且L与的两个焦点A和B满足
（其中O为原点），求
的取值范围。
（1）
；（2）
解析试题分析：（1）有椭圆方程中读出其长轴长，焦距长，根据题意得出双曲线的长轴长，和焦距长，即可求出双曲线方程。（2）因为直线l与两曲线均有两个不同交点，故联立方程后整理出的一元二次方程均有两根，即判别式均大于0，再根据向量数量积公式列出关于K 的不等式，三个不等式取交集。
试题解析：（1）设双曲线的方程为
，由椭圆的方程知，其长轴长为4，焦距长为
，则由题意知双曲线中
，
，所以
，故的方程为。
（2）将代入，整理得
，由直线
与椭圆恒有两个不同的交点得
即
，
将代入，整理得
，由直线与双曲线恒有两个不同的交点得
，解得
。
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
考点：圆锥曲线方程基础知识，直线与圆锥曲线的位置关系，向量数量积公式
练习册系列答案
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中，已知过点
的椭圆
：
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
，
两点，点
，直线
，
分别交椭圆
于
，
两点.
，试求直线
，
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
上一个动点，M为点P在y轴上的投影，动点Q满足
．
，交曲线C于A、B两点，且A、B同在以点D（0，1）为圆心的圆上，求直线l的方程。
、
是过抛物线
焦点
的两条弦，且其焦点
，
，点
为
轴上一点，记
，其中
为锐角．
．
的焦点为F，过F的直线交抛物线于M、N两点，其准线
与x轴交于K点.
的最小值.
，点
是点
关于
轴的对称点，过点
两点。
轴上是否存在不同于点
，使得
与
的面积为
，求向量
的夹角；
上任意一点
到直线
的距离是它到点
距离的
倍；曲线
是以原点为顶点，
为焦点的抛物线.
,其中
与
,
与
,求四边形
面积的取值范围.
：
的离心率为
，以椭圆
为圆心作圆
，设圆
与点
．(12分)
的最小值，并求此时圆
是椭圆
分别与
轴交于点
，
为坐标原点，求证：
为定值．（5分）