Question

已知曲线上任意一点到直线的距离是它到点距离的倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线,其中与相交于点,与相交于点,求四边形面积的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ),；(Ⅱ).

解析试题分析：(Ⅰ)求 曲线，则设该曲线上某点，然后根据题目条件，得到关于的方程，再化简即可得到.曲线可以根据抛物线的几何性质得到，为抛物线焦点，从而得到；(Ⅱ)用点斜式设出的方程为，与抛物线方程联立，即可得到关于点坐标的方程.再根据韦达定理即得到的长度.由题意可设的方程为,代入可得关于点坐标的方程.再根据韦达定理即得到的长度.因为，从而四边形的面积为，经化简，通过基本不等式即可得到四边形面积的取值范围为.
试题解析：(Ⅰ)设，则由题意有,化简得:.
故的方程为，易知的方程为.                      4分
(Ⅱ)由题意可设的方程为,代入得,
设,则,
所以.           7分
因为,故可设的方程为,代入得
,设,则,
所以.   10分
故四边形的面积为

()
设，因此
,当且仅当即等号成立.
故四边形面积的取值范围为.                               13分
考点：1.曲线与方程；2.抛物线的几何性质；3.直线与圆锥曲线的位置关系；4.基本不等式；5.函数的单调性.