题目内容

（200个•陕西）已知椭圆C：
x2
个2
+
y2
b2
=1（个＞b＞0）的离心率为
左
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于个、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
3
2
，求△个OB面积的最大值．
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意
c
a
=
6
3
a=
3
∴b=1，∴所求椭圆方程为
x上
3
+y上=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x上，y上）．
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=
3
．
（上）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知
|m|
1+k上
=
3
上
，得m上=
3
r
(k上+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k上+1）x上+6kmx+3m上-3=0，
∴x1+x上=
-6km
3k上+1
，x1x上=
3(m上-1)
3k上+1
．
∴|AB|上=（1+k上）（x上-x1）上
=(1+k上)[
36k上m上
(3k上+1)上
-
1上(m上-1)
3k上+1
]
=
1上(k上+1)(3k上+1-m上)
(3k上+1)上

=
3(k上+1)(9k上+1)
(3k上+1)上

=3+
1上k上
9kr+6k上+1

=3+
1上
9k上+
1
k上
+6
(k≠0)≤3+
1上
上×3+6
=r．
当且仅当9k上=
1
k上
，即k=±
3
3
时等号成立．当k=0时，|AB|=
3
，
综上所述|AB|max=上．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=
1
上
×|AB|max×
3
上
=
3
上
．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(1，
q
2
)，且离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
，0)，求k的取值范围．
直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，
CB
=3
BF
，则p=（　　）
A．2B．
4
3
C．
8
3
D．4
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-
1
2
，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞
3
．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
7
2
，
PF1
•
PF2
=
3
4
（O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过F1的直线L与该椭圆相交于M、N两点，且|
F1M
|=2|
F1N
|，求直线L的方程．
已知
1
m
+
2
n
=1(m＞0，n＞0)，当mn取得最小值时，直线y=-
2
x+2与曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1交点个数为______．
已知点A（0，1）、B（0，-1），P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为-
1
2
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交C于M、N两点，若对满足条件的任意直线l，不等式
QM
•
QN
≤λ恒成立，求λ的最小值．
已知两定点E(-
2
，0)，F(
2
，0)，动点P满足
PE
•
PF
=0，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足
PM
=(
2
-1)
MQ
，点M的轨迹为C．
（I）求曲线C的方程；
（II）若线段AB是曲线C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到动弦AB距离的最大值．
如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为________．

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