题目内容

已知两定点E(-
2
,0),F(
2
,0)
,动点P满足
PE
PF
=0
,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足
PM
=(
2
-1)
MQ
,点M的轨迹为C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
(Ⅰ)设动点P(x0,y0),则
EP
=(x0+
2
y0)
FP
=(x0-
2
y0)

∵动点P满足
EP
FP
=0,∴
x20
-2+
y20
=0
,化为
x20
+
y20
=2

即动点P的轨迹方程为
x20
+
y20
=2

设动点M(x,y),则Q(x,0),如图所示,
PM
=(x-x0,y-y0)
MQ
=(0,-y)
PM
=(
2
-1)
MQ

x-x0=0
y-y0=-y(
2
-1)
,化为
x0=x
y0=
2
y

代入动点P的轨迹方程得x2+2y2=2,即曲线C的方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,∵|AB|=2=短轴长,∴直线AB经过原点,此时原点到直线的距离=0;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+t,
联立
y=kx+t
x2+2y2=2
,消去y得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
∵直线与椭圆有两个交点,∴△=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,化为t2<1+2k2.(*)
x1+x2=-
4kt
1+2k2
x1x2=
2t2-2
1+2k2

∴|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

∴22=(1+k2)[(
-4kt
1+2k2
)2-4×
2t2-2
1+2k2
]

化为t2=
1+2k2
2(1+k2)
.(**)
原点O到直线AB的距离d=
|t|
1+k2
,∴d2=
t2
1+k2

把(**)代入上式得d2=
1+2k2
2(1+k2)2
=
2
(1+2k2)+
1
1+2k2
+2
2
2+2
=
1
2
,当且仅当1+2k2=
1
1+2k2
,即k2=0,k=0时取等号.
此时t2=
1
2
,满足(*)式.
d2
1
2
,∴d≤
2
2
,即原点O到直线AB的最大距离d=
2
2

综上可知:坐标原点O到动弦AB距离的最大值是
2
2
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