题目内容
已知两定点E(-
,0),F(
,0),动点P满足
•
=0,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足
=(
-1)
,点M的轨迹为C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
2 |
2 |
PE |
PF |
PM |
2 |
MQ |
(I)求曲线C的方程;
(II)若线段AB是曲线C的一条动弦,且|AB|=2,求坐标原点O到动弦AB距离的最大值.
(Ⅰ)设动点P(x0,y0),则
=(x0+
,y0),
=(x0-
,y0).
∵动点P满足
•
=0,∴
-2+
=0,化为
+
=2
即动点P的轨迹方程为
+
=2.
设动点M(x,y),则Q(x,0),如图所示,
∵
=(x-x0,y-y0),
=(0,-y),
=(
-1)
,
∴
,化为
,
代入动点P的轨迹方程得x2+2y2=2,即曲线C的方程为
+y2=1.
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,∵|AB|=2=短轴长,∴直线AB经过原点,此时原点到直线的距离=0;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+t,
联立
,消去y得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
∵直线与椭圆有两个交点,∴△=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,化为t2<1+2k2.(*)
∴x1+x2=-
,x1x2=
,
∴|AB|=
,
∴22=(1+k2)[(
)2-4×
],
化为t2=
.(**)
原点O到直线AB的距离d=
,∴d2=
,
把(**)代入上式得d2=
=
≤
=
,当且仅当1+2k2=
,即k2=0,k=0时取等号.
此时t2=
,满足(*)式.
∴d2≤
,∴d≤
,即原点O到直线AB的最大距离d=
.
综上可知:坐标原点O到动弦AB距离的最大值是
.
EP |
2 |
FP |
2 |
∵动点P满足
EP |
FP |
x | 20 |
y | 20 |
x | 20 |
y | 20 |
即动点P的轨迹方程为
x | 20 |
y | 20 |
设动点M(x,y),则Q(x,0),如图所示,
∵
PM |
MQ |
PM |
2 |
MQ |
∴
|
|
代入动点P的轨迹方程得x2+2y2=2,即曲线C的方程为
x2 |
2 |
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,∵|AB|=2=短轴长,∴直线AB经过原点,此时原点到直线的距离=0;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+t,
联立
|
∵直线与椭圆有两个交点,∴△=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,化为t2<1+2k2.(*)
∴x1+x2=-
4kt |
1+2k2 |
2t2-2 |
1+2k2 |
∴|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] |
∴22=(1+k2)[(
-4kt |
1+2k2 |
2t2-2 |
1+2k2 |
化为t2=
1+2k2 |
2(1+k2) |
原点O到直线AB的距离d=
|t| | ||
|
t2 |
1+k2 |
把(**)代入上式得d2=
1+2k2 |
2(1+k2)2 |
2 | ||
(1+2k2)+
|
2 |
2+2 |
1 |
2 |
1 |
1+2k2 |
此时t2=
1 |
2 |
∴d2≤
1 |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
综上可知:坐标原点O到动弦AB距离的最大值是
| ||
2 |
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