题目内容

设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-
1
2
，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞
3
．
（1）设P（x0，y0），∴
x02
a2
+
y02
b2
=1①
∵椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，∴A（-a，0），B（a，0）
∴kAP=
y0
x0+a
，kBP=
y0
x0-a

∵直线AP与BP的斜率之积为-
1
2
，∴x02=a2-2y02
代入①并整理得(a2-2b2)y02=0
∵y0≠0，∴a2=2b2
∴e2=
a2-b2
a2
=
1
2

∴e=
2
2

∴椭圆的离心率为
2
2
；
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴
x02
a2
+
k2x02
b2
=1
∵a＞b＞0，kx0≠0，∴
x02
a2
+
k2x02
a2
＜1
∴(1+k2)x02＜a2②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02+2ax0=0
∴x0=
-2a
1+k2

代入②得(1+k2)(
-2a
1+k2
)2＜a2
∴k2＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞
3
．
练习册系列答案
相关题目
过点A（0，2）可以作 ______条直线与双曲线x2-
y2
4
=1有且只有一个公共点．
过抛物线y2=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO为（　　）
A．锐角三角形B．直角三角形C．不确定D．钝角三角形
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．
已知F1，F2分别为椭圆C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF2|=
3
5
．
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足
OA
+
OB
=λ
OP
，求实数λ的取值范围．
抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x=-1，过准线与x轴的交点M做直线l交抛物线于A、B两点．
（Ⅰ）若点A为MB中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设抛物线的焦点为F，当AF⊥BF时，求△ABF的面积．
（200个•陕西）已知椭圆C：
x2
个2
+
y2
b2
=1（个＞b＞0）的离心率为
左
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于个、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
3
2
，求△个OB面积的最大值．
已知点P在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF1|=6-|PF2|，且椭圆C的离心率为
5
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得
GM
•
GN
为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．
如图，是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点．在上述条件下，给出下列四个结论：

则所有正确结论的序号是
A．①②B．③④C．①②③D．①②④

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