题目内容
已知各项均为正数的数列满足:。
(1)求的通项公式
(2)当时,求证:
(1),猜测:。用数学归纳法证明。
(2)即证:
解析试题分析:(1),猜测:。下用数学归纳法证明:
①当,猜想成立;
②假设当时猜想成立,即,
由条件,
,
两式相减得:,则当时,
,
时,猜想也成立。
故对一切的成立。
(2),即证:
对,令(),则
,
显然,,所以,
所以,在上单调递减.
由,得,即.
所以,.
所以
. 得证。
考点:本题主要考查数列的概念,数学归纳法的应用。
点评:难题,归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。归纳推理问题,往往与数列知识相结合,需要综合应用数列的通项公式、求和公式等求解。本题利用数学归纳法证明不等式,对数学式子变形能力要求较高。
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