题目内容
设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”:
①;②.
(1)若等比数列为 ()阶“期待数列”,求公比;
(2)若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”的前项和为:
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.
(1).(2).(3)(ⅰ)利用前n项和进行放缩证明.(ⅱ)数列和数列不能为阶“期待数列”.
解析试题分析:(1)若,则由①=0,得,
由②得或.
若,由①得,,得,不可能.
综上所述,.
(2)设等差数列的公差为,>0.
∵,∴,
∴,
∵>0,由得,,
由题中的①、②得,
,
两式相减得,, ∴,
又,得,
∴.
(3)记,,…,中非负项和为,负项和为,
则,,得,,
(ⅰ),即.
(ⅱ)若存在使,由前面的证明过程知:
,,…,,,,…,,
且….
记数列的前项和为,
则由(ⅰ)知,,
∴=,而,
∴,从而,,
又…,
则,
∴,
与不能同时成立,
所以,对于有穷数列,若存在使,则数列
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