题目内容

设满足以下两个条件的有穷数列阶“期待数列”:
;②
(1)若等比数列 ()阶“期待数列”,求公比
(2)若一个等差数列既是 ()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记阶“期待数列”的前项和为
(ⅰ)求证:
(ⅱ)若存在使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

(1).(2).(3)(ⅰ)利用前n项和进行放缩证明.(ⅱ)数列和数列不能为阶“期待数列”.

解析试题分析:(1)若,则由①=0,得
由②得
,由①得,,得,不可能.
综上所述,
(2)设等差数列的公差为>0.
,∴

>0,由
由题中的①、②得

两式相减得,, ∴
,得

(3)记,…,中非负项和为,负项和为
,得
(ⅰ),即
(ⅱ)若存在使,由前面的证明过程知:
,…,,…,

记数列的前项和为
则由(ⅰ)知,
=,而
,从而



不能同时成立,
所以,对于有穷数列,若存在使,则数列

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