Question

【题目】已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+ px﹣p+1=0（p∈R）两个实根． （Ⅰ）求C的大小
（Ⅱ）若AB=3，AC= ，求p的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+ px﹣p+1=0的判别式：△=（ p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0， 所以p≤﹣2，或p≥ ．
由韦达定理，有tanA+tanB=﹣ p，tanAtanB=1﹣p．
所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，
从而tan（A+B）= =﹣ =﹣ ．
所以tanC=﹣tan（A+B）= ，
所以C=60°．
（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB= = = ，
解得B=45°，或B=135°（舍去）．
于是，A=180°﹣B﹣C=75°．
则tanA=tan75°=tan（45°+30°）= = =2+ ．
所以p=﹣ （tanA+tanB）=﹣ （2+ +1）=﹣1﹣
【解析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥ ，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣ p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）= ，结合C的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB= = ，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣ （tanA+tanB）的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正切公式的相关知识，掌握两角和与差的正切公式：．