题目内容
【题目】已知抛物线C:y=2x2 , 直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N. (Ⅰ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(Ⅱ)是否存在实数k使 ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)如图,设A(x1 , 2x12),B(x2 , 2x22), 把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0,
由韦达定理得 ,x1x2=﹣1,
∴ ,∴N点的坐标为
.
设抛物线在点N处的切线l的方程为 ,
将y=2x2代入上式得 ,
∵直线l与抛物线C相切,
∴ ,
∴m=k,即l∥AB.
(Ⅱ)假设存在实数k,使 ,则NA⊥NB,
又∵M是AB的中点,∴ .
由(Ⅰ)知 =
.
∵MN⊥x轴,
∴ .
又 =
.
∴ ,
解得k=±2.
即存在k=±2,使 .
【解析】(1)设A(x1 , 2x12),B(x2 , 2x22),把直线方程代入抛物线方程消去y,根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值,进而求得N和M的横坐标,表示点M的坐标,设抛物线在点N处的切线l的方程将y=2x2代入进而求得m和k的关系,进而可知l∥AB.(2)假设存在实数k,使 成立,则可知NA⊥NB,又依据M是AB的中点进而可知
.根据(1)中的条件,分别表示出|MN|和|AB|代入
求得k.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目