Question

13．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-sinB），且|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=1．
（1）求角C的度数；
（2）若c=3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐标运算与模的计算公式可得：$\sqrt{（cosA-cosB）^{2}+（sinA+sinB）^{2}}$=1，利用两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式化为2-2cos（A+B）=1，即可得出．
（2）当c=3时，利用余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-sinB），
∴$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$=（cosA-cosB，sinA+sinB），
又|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|=1．
∴$\sqrt{（cosA-cosB）^{2}+（sinA+sinB）^{2}}$=1，
化为2-2cos（A+B）=1，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$．
（2）当c=3时，c²=a²+b²-2abcosC，
∴9≥2ab-2ab×$（-\frac{1}{2}）$，∴ab≤3，
∴S=$\frac{1}{2}absinC$$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab$≤\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当且仅当a=b=$\sqrt{3}$时取等号．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算与模的计算公式、两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式、余弦定理、基本不等式的性质与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．