Question

18．已知中心在原点的椭圆C的上焦点坐标为（0，1），离心率等于$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线；
（3）如图中的曲线为某椭圆E的一部分，试作出椭圆E的中心，并写出作图步骤．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），由于c=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可；
（2）设斜率为1的直线方程为：y=x+m，设直线与椭圆相交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中点为P（x₀，y₀）．利用“点差法”即可得出；
（3）利用（2）的结论分别作出两条直线，其交点即为椭圆的中心．

解答 （1）解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵c=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=1，a=2，b²=3．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$；
（2）证明：设斜率为1的直线方程为：y=x+m，
设直线与椭圆相交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中点为P（x₀，y₀）．
则$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}+\frac{{x}_{1}^{2}}{3}=1$，$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}+\frac{{x}_{2}^{2}}{3}=1$，
∴$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{4}$+$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{3}$=0，
∴$\frac{2{y}_{0}}{4}×1+\frac{2{x}_{0}}{3}=0$，
化为${y}_{0}=-\frac{4}{3}{x}_{0}$．
∴斜率为1的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点都在直线y=-$\frac{4}{3}x$直线上．
（3）解：利用（2）的结论可知：斜率为1的直线的所有直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在直线一条直线上．
同理斜率为2的直线与椭圆C相交得到的弦的中点共线并且都在另外一条直线上，上述两条直线的交点即为椭圆的中心．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、中点弦长问题、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．