Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，PA⊥底面ABCD，PA＝4，AB＝2．

（I）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，求二面角A﹣MC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先利用线面垂直的判定定理，证得BD⊥面PAC，再利用面面垂直的判定定理，即可证得平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）根据面积关系，得到M为PD的中点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（Ⅰ）在四棱锥P﹣ABCD中，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PA⊥底面ABCD，∴DB⊥PA，又AP∩AC＝A，∴BD⊥面PAC．

又BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅱ）∵过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P﹣ACD分成体积相等的两部分，

∴M为PD的中点，则AO＝OD，AC＝2，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），P（﹣1，0，4），D（0，，0），M（，，2）．

设面AMC的法向量为，，，2），，

由，取，可得一个法向量

设面PMC的法向量为，，．

，令，可一个法向量，

则，

即二面角A﹣MC﹣P的余弦值为．