Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）＞0，且f(-

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)=0，则不等式f（x）＜0的解集为

 

．

Answer 1

分析：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，f(-

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)=0，则f(-

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)=f（0）=f（

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）=0，则可以将定义域R分为（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）四个区间结合单调性进行讨论，可得答案．

解答：解：∵当x＜0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上为增函数，
∵f(-

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)=0
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-

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}，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（

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）=0，
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜

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}，
综上不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜-

1

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或0＜x＜

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}
故答案为：{x|x＜-

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或0＜x＜

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2

}．

点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．属中档题