题目内容
【题目】已知抛物线与直线
相交于A、B两点.
(1)求证:;
(2)当的面积等于
时,求k的值.
【答案】解: (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意, ………… 2分
∴k 0由y =" k" (x+1)得x =–1 代入y 2=" –" x 整理得: y 2+
y – 1 =" 0" , 2分
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 则y 1+ y 2= –, y 1y 2=" –1." ………… 2分
∵A、B在y 2=" –" x上, ∴A (–, y 1), B (–
, y 2) ,
∴ kOA·kOB==
=" –" 1 .
∴ OA^OB. …………… 3 分
(2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| =" 1" ,
【解析】
试题(1)可假设,分别代入抛物线方程与直线方程,化简整理可得
,
,利用向量垂直有
,即证明
;(2)直线
与
轴的交点为
的坐标为
,则可将三角形
拆为两个三角形
,两三角形具有相同的底边
,高分别为
的纵坐标,利用(1)中
的关系便可求得
的面积函数,根据函数值求
的值.
试题解析:(1)证明:联立,消去x,得ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-
,y1·y2=-1.因为y12=-x1,y22=-x2,所以(y1·y2)2=x1·x2,所以x1·x2=1,所以x1x2+y1y2=0,即
=0,所以OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴的交点为N,则N的坐标为(-1,0),
所以S△AOB=|ON|·|y1-y2|
=×|ON|×
=×1×
=
,
解得k2=,所以k=±
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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