Question

【题目】如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．
（1）求证：BD⊥平面ACFE；
（2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求AE的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．…（1分）

∵AE⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥AE，

又AC平面ACFE，AE平面ACFE，AC∩AE=A，

∴BD⊥平面ACFE

（2）解：以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系．

则 ．

设AE=a，则E（1，0，a），

∴ ，

设平面BDE的法向量为 ，则 ）

即 令z=1，得 ，

∴ ，

∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，∴ ，

解得a=2或 （舍），∴|AE|=2．

【解析】（1）由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD，由菱形性质得BD⊥AC，故而BD⊥平面ACFE；（2）以O为原点建立坐标系，设CF=a，求出 和平面BDE的法向量，利用直线FO与平面BED所成角的大小为45°，可得 ，即可求出a的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．