Question

11．不论a为何实数，直线ax+y+1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1总有公共点，则实数m的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 先根据直线方程可知直线恒过（0，-1）点，要使直线ax+y+1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共点，需（0，-1）在椭圆上或椭圆内，注意椭圆的参数范围，进而求得m的范围．

解答 解：直线ax+y+1=0恒过点（0，-1），
由直线ax+y+1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共点，
所以（0，-1）在椭圆上或椭圆内，
∴0+$\frac{1}{m}$≤1，
∴m≥1，
又∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1，
∴m＞0且m≠4．
∴实数m的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．
故答案为：[1，4）∪（4，+∞）．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，同时考查直线恒过定点的求法，属于中档题和易错题．