题目内容
【题目】如图，设矩形
所在平面与梯形
所在平面相交于
.若
，
，
.
（1）求证：
；
（2）若
，求
与面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）连结
、
，交于点O，连结
，
，
，从而
是边长为1的正三角形，取
中点G，连结
，
，连结，，从而
，
，由此能求出
平面
，由此能证明
.
（2）过B作
，交
于点H，连结
，以H为原点，
为x轴，
为y轴，过H作平面
的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
与面
所成角的正弦值.
解：（1）证明：连结、，交于点O，连结，
∵矩形所在平面与梯形所在平面相交于.
，
，
.
∴，
，
∴是边长为1的正三角形，
取中点G，连结，，连结，，
∴，，
∵
，
平面，
平面，
∴平面，
∵
平面，
∴.
（2）解：∵
，∴三棱锥
和三棱锥
都是棱长为1的正四面体，
过B作，交于点H，连结，
∴
，
，
，
，
∴
，
∴以H为原点，为x轴，为y轴，过H作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
，
平面的法向量
，
设与面所成角为
，
则
，
∴与面所成角的正弦值为.
【题目】自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
产假安排（单位：周） | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
有生育意愿家庭数 | 4 | 8 | 16 | 20 | 26 |
（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？
（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；
②如果用
表示两种方案休假周数之和．求随机变量
的分布列及数学期望．
