Question

（本题满分14分）
有三个生活小区,分别位于三点处，且，. 今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在的垂直平分线
上的点处，建立坐标系如图，且.
(Ⅰ) 若希望变电站到三个小区的距离和最小，
点应位于何处？
(Ⅱ) 若希望点到三个小区的最远距离为最小，
点应位于何处？

Answer 1

(Ⅰ) 点为的中点  (Ⅱ)   

：在中,,则…1分
（Ⅰ）方法一、设(),点到的距离之和为
   …5分
,令即,又,从而
当时,;当时, .
∴当时,取得最小值
此时,即点为的中点.        ……8分
方法二、设点,则到的距离之和为
,求导得 ……5分
由即,解得
当时,;当时,
∴当时,取得最小值,此时点为的中点.               ……8分
（Ⅱ）设点,则,
点到三点的最远距离为
①若即,则;
②若即,则;
∴   ……11分
当时,在上是减函数,∴
当时,在上是增函数,∴
∴当时, ,这时点在上距点.…14分