Question

4．（Ⅰ）已知α∈（$\frac{π}{2}$，π），且4sinα=-3cosα，求$\frac{{cos（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α}$的值．
（Ⅱ）已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，求sin2α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果．
（Ⅱ）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果．

解答 解：（Ⅰ）∵$4sinα=-3cosα，且α∈（\frac{π}{2}，π）$，∴$tanα=-\frac{3}{4}，cosα=-\frac{4}{5}，sinα=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{{cos（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（cosα-sinα）}}{2sinαcosα}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（\frac{1}{sinα}-\frac{1}{cosα}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（\frac{5}{3}+\frac{5}{4}）=\frac{{35\sqrt{2}}}{48}$．
（Ⅱ）已知$\frac{π}{2}$＜β＜α＜$\frac{3π}{4}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，∴sin（α-β）=$\frac{5}{13}$，sin（α+β）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin2α=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$×$\frac{12}{13}$+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{5}{13}$=-$\frac{56}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，属于基础题．