题目内容
【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若方程有两根
,求
的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的前提下,设,求证:
随着
的减小而增大;
(Ⅲ)若不等式恒成立,求证:
(
).
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由,有
,设
,求得
的单调性,进而由方程
,求解实数
的取值范围;
(Ⅱ)由题意,
,推得
进而得到
,即可得到
随着
的减小而增大.
(Ⅲ)依题意, 恒成立,记
,则
,
分类讨论得到函数的最小值, ,设
,利用函数的性质,即可求得结论.
试题解析:(Ⅰ)由,有
,
设,由
,
在
上单调递增,在
上单调递减,又
,
.当
时,
;当
时,
.
故若方程有两根,则
.
(Ⅱ)故若方程有两根
,则
,
.
假设对于任意的.记
,由上可知
;记
,由上可知
.
因为在
上单调递增,在
上单调递减,故由
可知
,
.
又因为,
,所以
,故
随着
的减小而增大.
(Ⅲ)依题意, 恒成立,记
,则
.
①当时,
在
恒成立,故
在
单调递减,又因为
,所以
在
上函数值小于零,不符合题意,舍去.
②当时,
得
.
小于0 | 大于0 | |
单调递减 | 单调递增 |
由上表可知在
上的
.
记,由
可知,
在
单调递增,在
单调递减,故
,综上
,即
.
由可得
(
),两边乘以
可得
,即
.
则.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标,某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花,为了评价该品种的棉花质量,在棉花成熟后,分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计,结果如下表:(记纤维长度不低于300的为“长纤维”,其余为“短纤维”)
纤维长度 | |||||
甲地(根数) | 3 | 4 | 4 | 5 | 4 |
乙地(根数) | 1 | 1 | 2 | 10 | 6 |
(1)由以上统计数据,填写下面列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
甲地 | 乙地 | 总计 | |
长纤维 | |||
短纤维 | |||
总计 |
附:(1);
(2)临界值表;
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)现从上述40根纤维中,按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测,在这8根纤维中,记乙地“短纤维”的根数为,求
的分布列及数学期望.