题目内容
【题目】已知函数
，其中
.
（1）写出函数的图象经过的一个定点
的坐标，并求图象在点处的切线方程；
（2）若函数
对任意的
恒成立，求
的最大值.
【答案】（1）A(1,0),
（2）
.
【解析】
（1）由题定点为
由
，求k,点斜式写出直线即可；（2）由
得单调递增，由
讨论
的正负，求f(x)的最值即可.
（1）函数
的图象经过的一个定点
的坐标为
，
因为，所以切线的斜率为
，
所以图象在点处的切线方程为
，即为
.
（2）因为，
所以
，
因为
，所以.
所以在
上单调递增，
所以
.
①若
，即
时，得
，所以
在上单调递增，
所以
，
即
对任意
的恒成立.
②若
，即
时，
，
，
，
由零点存在定理得，在
上存在零点，
因为在上单调递增，
所以
，
成立，所以在
单调递减，
所以，
，
所以
对任意的不恒成立.
综上，，即
的最大值为
.
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