Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求切线的方程；

（Ⅱ）若的极大值和极小值分别为，，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，由，即切线的斜率为，又由切线与直线垂直，解得，得到切线的斜率为，再由，即直线过点，由直线的点斜式方程，即可求解切线的方程；

（Ⅱ）设为方程的两个实数根，根据二次函数根的分布，求得，根据题意，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解。

（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，因为，即切线的斜率为，

又由切线与直线垂直，所以，解得，即切线的斜率为，

又由，即直线过点，

所以曲线在点处的切线的方程为.

（Ⅱ）设为方程的两个实数根，则，

由题意得，解得，

又因为函数的极大值和极小值分别为，，

则

.

令，

则，当时，，所以是增函数，

则，即.