题目内容
【题目】已知函数有两个零点.
(1)求实数的取值范围;
(2)设、
是
的两个零点,证明:
.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)求导得到,利用导数得到
的最小值,从而要使
有两个零点,则
最小值小于
,得到
的范围,再利用零点存在定理证明所求的
的范围符合题意;(2)利用分析法,要证
,将问题转化为证明
,设函数
,利用导数研究
的单调性,从而进行证明.
函数,
所以,
当时,
在
上恒成立,所以
在
上单调递增,
至多只有一个零点,不符合题意,
当时,由
得
,
所以时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增,
所以时
取得极小值,也是最小值,
要有两个零点,则
,
即,解得
,
所以,
当时,得
,
当时,
,
设,则
所以单调递增,则
,
所以,
所以在区间
上有且只有一个零点,在
上有且只有一个零点,
所以满足有两个零点的
的取值范围为
.
(2)、
是
的两个零点,则
,
要证,即证
,
根据,
可知,
,
即证,
即证,即证
,
即证,
设,
,
由(1)知在
上单调递增,
故只需证明,
而,所以只需证
令,且
所以,
,
所以在
上单调递减,
所以,
所以在
上恒成立,
所以,
故原命题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目