题目内容
【题目】2019年12月以来,湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例,并迅速在全国范围内开始传播,专家组认为,本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒,该病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为,某位患者在隔离之前,每天有
位密切接触者,其中被感染的人数为
,假设每位密切接触者不再接触其他患者.
(1)求一天内被感染人数为的概率
与
、
的关系式和
的数学期望;
(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间,设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者,从某一名患者被感染,按第1天算起,第
天新增患者的数学期望记为
.
(i)求数列的通项公式,并证明数列
为等比数列;
(ii)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率,降低后的患病概率,当
取最大值时,计算此时
所对应的
值和此时
对应的
值,根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取
)
(结果保留整数,参考数据:)
【答案】(1);
.
(2)(i),证明见解析;(ii)16,6480,戴口罩很有必要.
【解析】
(1)由题意,被感染人数服从二项分布:,则可求出概率及数学期望;
(2)(i)根据第天被感染人数为
,及第
天被感染人数为
,
作差可得可得,,可证,(ii)利用导数计算此时
所对应的
值和此时
对应的
值,根据计算结果说明戴口罩的必要性.
(1)由题意,被感染人数服从二项分布:,
则,
,
的数学期望
.
(2)(i)第天被感染人数为
,
第天被感染人数为
,
由题目中均值的定义可知,
则,且
.
是以
为首项,
为公比的等比数列.
(ii)令,
则.
在
上单调递增,在
上单调递减.
.
则当,
.
.
.
戴口罩很有必要.
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