题目内容
【题目】2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为
，某位患者在隔离之前，每天有
位密切接触者，其中被感染的人数为
，假设每位密切接触者不再接触其他患者.
（1）求一天内被感染人数为
的概率
与、
的关系式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第
天新增患者的数学期望记为
.
（i）求数列
的通项公式，并证明数列为等比数列；
（ii）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率
，当
取最大值时，计算此时所对应的
值和此时对应的
值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取
）
（结果保留整数，参考数据：
）
【答案】（1）
；
.
（2）（i）
，证明见解析；（ii）16，6480，戴口罩很有必要.
【解析】
（1）由题意，被感染人数服从二项分布：
，则可求出概率及数学期望；
（2）（i）根据第
天被感染人数为
，及第
天被感染人数为
，
作差可得可得，
，可证，（ii）利用导数计算此时
所对应的
值和此时
对应的
值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.
（1）由题意，被感染人数服从二项分布：，
则,
，
的数学期望.
（2）（i）第天被感染人数为，
第天被感染人数为，
由题目中均值的定义可知，
则
，且
.
是以
为首项，
为公比的等比数列.
（ii）令
，
则
.
在
上单调递增，在
上单调递减.
.
则当
，
.
.
.
戴口罩很有必要.
