题目内容
【题目】已知数列中
,前
项和为
,若对任意的
,均有
(
是常数,且
)成立,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列为“
数列”,求数列
的前
项和
;
(2)若数列为“
数列”,且
为整数,试问:是否存在数列
,使得
对一切
,
恒成立?如果存在,求出这样数列
的
的所有可能值,如果不存在,请说明理由;
(3)若数列为“
数列”,且
,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由和项与通项关系得,再根据等比数列定义以及等比数列求和公式求结果,(2)由和项与通项关系得
,代入化简得
,即得
,再化为
,解得
的所有可能值,(3)由和项与通项关系得
,根据条件可得数列不减,得
,叠放得
,从而
,而
,所以得证.
试题解析:(1)数列为“
数列”,则
,故
,
两式相减得:,
又时,
,所以
故对任意的
恒成立,即
(常数),
故数列为等比数列,其通项公式为
;
.
(2)
当时,
因为,则
;
则
则,因为
则
因为,则
,且
时,
,
解得:.
(3)
,由归纳知,
,
,由归纳知,
,
则
于是
于是
,∴
结论显然成立.
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练习册系列答案
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时间点 | 8点 | 10点 | 12点 | 14点 | 16点 | 18点 |
甲游乐场 | 10 | 3 | 12 | 6 | 12 | 20 |
乙游乐场 | 13 | 4 | 3 | 2 | 6 | 19 |
(1)从所给6个时间点中任选一个,求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率;
(2)记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为,
(
),现从该6个时间点中任取2个,求恰有1个时间点满足
的概率.