Question

【题目】已知函数（， 为自然对数的底数）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，函数在区间上为增函数，求整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）求出，令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；；（2）由于函数在区间上为增函数，则其导函数在恒成立，再分离参数得到在恒成立，此时问题变为求函数在区间上的最小值问题，利用导数研究其单调性，求出最小值即可得结果.

试题解析：（1）由得

当时， ，所以在上为增函数；

当时， 时， ， 时， ，

所以在为减函数，在为增函数，

（2）当时，

则

若在区间上为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.

令， ；则， ；

令，则

当时， ，则在单调递增

而，

所以函数在只有一个零点，设为，

即时， ，即； 时， ，即，

∴， ，有最小值，

把代入上式可得，

又因为，所以，

又恒成立，所以，又因为为整数，所以，

所以整数的最大值为.