题目内容
【题目】已知为函数
的导函数,且
.
(1)判断函数的单调性;
(2)若,讨论函数
零点的个数.
【答案】(1) 时,
单调递减,
时,
单调递增(2) 当
时,
有一个零点;当
和
或
时,
有两个零点,当
且
,
由三个零点.
【解析】试题分析:(1)首先明确的表达式,求出
在
上单调递增,且
,从而得到
的单调区间;
(2)由,得
或
,若
,即
,
转而判断直线与
的交点个数即可.
试题解析:
(1)对,求导可得
,
所以,与是
,所以
,
所以,
于是在
上单调递增,注意到
,
故时,
单调递减,
时,
单调递增.
(2)由(1)可知,
由,得
或
,
若,则
,即
,
设
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
分析知时,
时,
时,
,
现考虑特殊情况:
①若直线与
相切,
设切点为,则
,整理得
,
设,显然
在
单调递增,
而,故
,此时
.
②若直线过点
,由
,则
,则
,
结合图形不难得到如下的结论:
当时,
有一个零点;
当和
或
时,
有两个零点,
当且
,
由三个零点.
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