题目内容
【题目】对于函数 ,我们把使
的实数
叫做函数
的零点,且有如下零
点存在定理:如果函数 在区间
上的图像是连续不断的一条曲线,并且有
,那么,函数
在区间
内有零点.给出下列命题:
①若函数 在
上是单调函数,则
在
上有且仅有一个零点;
②函数 有
个零点;
③函数 和
的图像的交点有且只有一个;
④设函数 对
都满足
,且函数
恰有
个不同的零点,则这6个零点的和为18;
其中所有正确命题的序号为________.(把所有正确命题的序号都填上)
【答案】②④
【解析】函数 在
上是单调函数,则
在
上有且仅有一个零点是错误的;,例如
在
是单调函数,但其函数值恒大于0,无零点;
函数 有3个零点正确;由于
,可解得函数
在区间
与
上是增函数,在
是减函数,故函数存在极大值
,极小值
,故函数有三个零点;
函数 和
图象的交点有且只有一个是错误的,因为两函数图象的交点的横坐标就是函数
的零点,
其中 ,所以在直线
右侧,函数有两个零点.一个在
内,一个在
内,故函数
共有3个零点,即函数 和
的图象有3个交点.
④设函数 对
都满足
,且函数
恰有
个不同的零点,则这6个零点的和为18是正确的,由函数
对
都满足
,可得函数的图象关于
对称,又函数
恰有6个不同的零点,此6个零点构成三组关于
对称的点,由中点坐标公式可得出这6个零点的和为18.
故答案为②④
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