题目内容
【题目】在无穷数列中,
,对于任意
,都有
,
. 设
, 记使得
成立的
的最大值为
.
(1)设数列为1,3,5,7,
,写出
,
,
的值;
(2)若为等差数列,求出所有可能的数列
;
(3)设,
,求
的值.(用
表示)
【答案】(1),
,
;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据使得成立的
的最大值为
,
,则
,
,则
,
,则
,这样就写出
,
,
的值;(2)若
为等差数列,先判断
,再证明
,即可求出所有可能的数列
;(3)确定
,
,依此类推,发现规律,得出
,从而求出
的值.
试题解析:(1),
,
. 3分
(2)由题意,得,
结合条件,得
. 4分
又因为使得成立的
的最大值为
,使得
成立的
的最大值为
,
所以,
. 5分
设,则
.
假设,即
,
则当时,
;当
时,
.
所以,
.
因为为等差数列,
所以公差,
所以,其中
.
这与矛盾,
所以. 6分
又因为,
所以,
由为等差数列,得
,其中
. 7分
因为使得成立的
的最大值为
,
所以,
由,得
. 8分
(3)设,
因为,
所以,且
,
所以数列中等于1的项有
个,即
个; 9分
设,
则, 且
,
所以数列中等于2的项有
个,即
个; 10分
以此类推,数列中等于
的项有
个. 11分
所以
.
即. 13分
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