Question

12．设集合A={x|f（x）=x²-x-2，且f（x）＜0}，B={x|x²-（2m+1）x+2m＜0}．
（Ⅰ）化简集合A；
（Ⅱ）若A∩B=B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把A中f（x）解析式代入f（x）＜0，求出解集即可确定出A；
（Ⅱ）根据A与B的交集为B，得到B为A的子集，表示出B中不等式的解集，根据2m与1的大小，分类讨论求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）根据A得：x²-x-2＜0，即（x-2）（x+1）＜0，
解得：-1＜x＜2，
则A=（-1，2）；
（Ⅱ）∵A∩B=B，∴B⊆A，
由B中不等式变形得：（x-2m）（x-1）＜0，
（1）当2m＞1，即m＞$\frac{1}{2}$时，解得：1＜x＜2m，即B=（1，2m），
可得2m≤2，即m≤1，
此时m的范围为$\frac{1}{2}$＜m≤1；
（2）当2m=1，即m=$\frac{1}{2}$时，B=∅，满足题意；
（3）当2m＜1，即m＜$\frac{1}{2}$时，解得：2m＜x＜1，即B=（2m，1），
可得2m≥-1，即m≥-$\frac{1}{2}$，
此时m的范围为-$\frac{1}{2}$≤m＜$\frac{1}{2}$，
综上，m的范围为[-$\frac{1}{2}$，1]．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．