Question

20．已知函数f（x）=（ax²+2x-2）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＜0，求f（x）的单调区间；
（3）若a=-2，函数f（x）的图象与函数$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+m$的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）求出导数，对a讨论，a=-1，-1＜a＜0，a＜-1，解不等式，即可得到所求单调区间；
（3）由题意可得f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，即y=m与$y=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$的图象有3个不同的交点，
令$F（x）=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$，求出导数，求得单调区间和极值，只要令m介于两极值之间．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²+2x-2）e^x，的导数为f′（x）=x（x+4）e^x，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为5e，切点为（1，e），
即有切线方程为y-e=5e（x-1），即为切线5ex-y-4e=0；
（2）$f'（x）=ax（x+\frac{2a+2}{a}）{e^x}$，
因为a＜0，所以a=-1时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上递减；
-1＜a＜0时，f（x）在（-∞，0）和$（-\frac{2a+2}{a}，+∞）$上递减，在$（0，-\frac{2a+2}{a}）$上递增；
a＜-1时，f（x）在$（-∞，-\frac{2a+2}{a}）$和（0，+∞）上递减，在$（-\frac{2a+2}{a}，0）$上递增；
综上，a=-1时，f（x）的减区间为R；
-1＜a＜0时，f（x）的增区间为$（0，-\frac{2a+2}{a}）$，减区间为（-∞，0）和$（-\frac{2a+2}{a}，+∞）$；
a＜-1时，f（x）的增区间为$（-\frac{2a+2}{a}，0）$，减区间为$（-∞，-\frac{2a+2}{a}）$和（0，+∞）；
（3）a=-2时，可得$f（x）-g（x）=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-m$，
原问题等价于f（x）-g（x）的图象与x轴有3个不同的交点，
即y=m与$y=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$的图象有3个不同的交点，
令$F（x）=（-2{x^2}+2x-2）{e^x}-\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}$，
F'（x）=-x（x+1）（2e^x+1），
令F'（x）=0，x=0或x=-1，
x∈（-∞，-1）∪（0，+∞），F'（x）＜0，F（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上递减；
x∈（-1，0），F'（x）＞0，F（x）在和（-1，0）上递增；    
所以F（x）在x=-1时去的极小值$F（-1）=-\frac{6}{e}-\frac{1}{6}$，F（x）在x=0时取得极大值F（0）=-2，
所以$m∈（-\frac{6}{e}-\frac{1}{6}，-2）$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．