Question

10．已知f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[a^2x-3（ab）^x+2b^2x+1]，其中1+lgb=1ga，求使f（x）＜0的x的取值范围．

Answer 1

分析 若f（x）＜0，则a^2x-3（ab）^x+2b^2x＞0，分解后可得（a^x-b^x）（a^x-2b^x）＞0，结合1+lgb=1ga即a=10b，在两边各除b^2x后，可得[（10）^x-1][（10）^x-2]＞0，结合指数函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：∵1+lgb=1ga，
∴a=10b＞0，
∴f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[a^2x-3（ab）^x+2b^2x+1]=log${\;}_{\frac{1}{2}}$[（a^x-b^x）（a^x-2b^x）+1]
若f（x）＜0，则（a^x-b^x）（a^x-2b^x）+1＞1，
即（a^x-b^x）（a^x-2b^x）＞0，
即[（10）^x-1][（10）^x-2]＞0，
即（10）^x＜1，或（10）^x＞2，
即x＜0，或x＞lg2．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，对数的运算性质，指数的运算性质，十字相乘法，综合性可，转化困难，属于难题．