Question

【题目】已知函数在区间上的最大值为9，最小值为1，记；

（1）求实数的值；

（2）若不等式成立，求实数的取值范围；

（3）定义在上的函数，设，其中将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数，试判断函数是否为在上的有界变差函数?若是，求的最小值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（3）或；（3）是，.

【解析】

（1）根据在上的单调性可得的最大值和最小值，结合已知条件可求的值.

（2）不等式等价于，由后者可以得到，从而可求的取值范围.

（3）对任意的上的划分，必定存在，使得，从而可得，故可得的最大值，从而可判断是上的有界变差函数且.

（1）因为的对称轴为直线，

故在为增函数，所以，

，解得，又，解得.

所以.

（2）由（1）得，

因为，所以等价于，

所以，故或，解得或.

（3）当时，，此时，

且在为减函数，在为增函数.

设将区间任意划分成个小区间，

且，则存在，

使得，

所以

，

整理得到，

因为，，

故，当且仅当即时等号成立，

故是上的有界变差函数，又，所以.