题目内容
【题目】如图，三棱柱
中，
侧面
，已知
，
，
，点E是棱
的中点．
（1）求证：
平面ABC；
（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，
或
【解析】
（1）利用余弦定理解得
，结合勾股定理得到
，证得
侧面
，
，继而可证
平面ABC；
（2）以B为原点，分别以
，
和
的方向为x，y和z轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M，设
，由EM与平面
所成角的正弦值为
，可求解.
（1）由题意，因为
，
，
，利用余弦定理
，
解得，又
，
，
侧面，
．
又
，AB，
平面ABC，∴直线平面ABC．
（2）以B为原点，分别以，和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
，
，
，
，令
，则
，
，
假设存在点M，设，
，
，
，
，
利用平面的一个法向量为
，
，得
．
即
，
或
，
或．
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