题目内容
【题目】如图,三棱柱中,
侧面
,已知
,
,
,点E是棱
的中点.
(1)求证:平面ABC;
(2)在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面所成角的正弦值为
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)存在,或
【解析】
(1)利用余弦定理解得,结合勾股定理得到
,证得
侧面
,
,继而可证
平面ABC;
(2)以B为原点,分别以,
和
的方向为x,y和z轴的正方向建立空间直角坐标系,假设存在点M,设
,由EM与平面
所成角的正弦值为
,可求解.
(1)由题意,因为,
,
,利用余弦定理
,
解得,又
,
,
侧面
,
.
又,AB,
平面ABC,∴直线
平面ABC.
(2)以B为原点,分别以,
和
的方向为x,y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则有,
,
,
,
设平面的一个法向量为
,
,
,
,
,令
,则
,
,
假设存在点M,设,
,
,
,
,
利用平面的一个法向量为
,
,得
.
即,
或
,
或
.
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