题目内容
15.设f(x)是(x2+$\frac{1}{2x}$)6展开式的中间项,若存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]使f(x)≤mx成立,则实数m的取值范围是( )A. | (-∞,$\frac{5}{4}$) | B. | (-∞,$\frac{5}{4}$] | C. | ($\frac{5}{4}$,+∞) | D. | [$\frac{5}{4}$,+∞) |
分析 由条件利用二项式展开式的通项公式求得f(x)=$\frac{5}{2}$x3.由于存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]使m≥$\frac{5}{2}$x2 成立,可得m大于或等于$\frac{5}{2}$x2 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]上的最小值.
解答 解:(x2+$\frac{1}{2x}$)6的展开式共有7项,∴中间项为第4项,
∵(x2+$\frac{1}{2x}$)6展开式的通项为Tr+1=${C}_{6}^{r}$•(x2)6-r•${(\frac{1}{2x})}^{r}$=${(\frac{1}{2})}^{r}$•${C}_{6}^{r}$•x12-3r,
令r=3得 T4=$\frac{1}{8}$•${C}_{6}^{3}$•x3=$\frac{5}{2}$x3,∴f(x)=$\frac{5}{2}$x3.
∵存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]使f(x)≤mx成立,
∴存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]使$\frac{5}{2}$x3≤mx成立,
∴存在x∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]使m≥$\frac{5}{2}$x2 成立,
∴m大于或等于$\frac{5}{2}$x2 在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{2}$]上的最小值.
当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,$\frac{5}{2}$x2 有最小值$\frac{5}{4}$,∴m≥$\frac{5}{4}$,
故选项:D.
点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,体现了转化的数学思想,属于中档题.
A. | i | B. | -i | C. | 1 | D. | -1 |
A. | [0,1] | B. | (0,1) | C. | (0,2) | D. | [0,2] |
A. | 1 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | -1 |