Question

【题目】设关于某产品的明星代言费x（百万元）和其销售额y（百万元），有如表的统计表格：

i	1	2	3	4	5	合计
xi（百万元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百万元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百万元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00
=1.56， =4.01， =6， xiyi=48.66， wiyi=132.62， （xi﹣ ）2=0.20， （wi﹣ ）2=10.14

其中 ．
（1）在坐标系中，作出销售额y关于广告费x的回归方程的散点图，根据散点图指出：y=a+blnx，y=c+dx3哪一个适合作销售额y关于明星代言费x的回归类方程（不需要说明理由）；

（2）已知这种产品的纯收益z（百万元）与x，y有如下关系：x=0.2y﹣0.726x（x∈[1.00，2.00]），试写出z=f（x）的函数关系式，试估计当x取何值时，纯收益z取最大值？（以上计算过程中的数据统一保留到小数点第2位）

Answer 1

【答案】
（1）解：散点图如右图：

根据散点图可知，y=c+dx3适合作销售额y关于明星代言费x的回归方程

（2）解：令ω=x3，则y=c+dω是y关于ω的线性回归方程，

所以 = =1.21， = ﹣1.21ω=1.15+1.21x3，

所以y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x3．

z=f（x）=0.2y﹣0.726x=0.2（1.15+1.21x3）﹣0.726x

=0.242x3﹣0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]

令z'=0.726x2﹣0.726≥0，得x≥1.00，

因为x∈[1.00，2.00]，

所以估计当明星代言费x=2.00百万元时，纯收益z取最大值．

估计：当明星代言费x=2.00百万元时，纯收益z取最大值

【解析】（1）散点图，根据散点图可知，y=c+dx3适合作销售额y关于明星代言费x的回归方程．（2）令ω=x3 ， 则y=c+dω是y关于ω的线性回归方程，求出y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x3 ． z=f（x）=0.242x3﹣0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]，利用导数性质求出当明星代言费x=2.00百万元时，纯收益z取最大值．
【考点精析】关于本题考查的频率分布直方图，需要了解频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息才能得出正确答案．