Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）设函数，若函数恰有一个零点，求函数的解析式.

Answer 1

【答案】（1）极小值1，函数没有极大值.（2）

【解析】

（1）先求出函数的导数，再利用导数求函数的极值．

（2）先求出的导数，再利用导数求函数的极值，根据函数恰有一个零点，可得极值等于零，从而求得的值，可得函数的解析式．

解：（1）因为，

令，解得.

因为，当时，，函数在上是减函数；

当，，函数在上是增函数.

所以，当时，函数有极小值，函数没有极大值.

（2），函数的定义域为，

所以，

令得，当时，，函数在上是减函数；

当，，函数在上是增函数.

当时，，，

当时，，但是比的增长速度要快， ，

故函数的极小值为，

因为函数恰有一个零点，故，所以，

所以.

所以函数.