题目内容
【题目】以直角坐标系的原点为极坐标系的极点,
轴的正半轴为极轴.已知曲线
的极坐标方程为
,
是
上一动点,
,点
的轨迹为
.
(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程;
(2)若点,直线
的参数方程
(
为参数),直线
与曲线
的交点为
,当
取最小值时,求直线
的普通方程.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
(1)设点极坐标分别为
,
,由
可得
,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程;
(2)设点对应的参数分别为
,则
,
,将直线
的参数方程代入
的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得
,
,则
,求得
取最小值时
符合的条件,进而求得直线
的普通方程.
(1)设点极坐标分别为
,
,
因为,则
,
所以曲线的极坐标方程为
,
两边同乘,得
,
所以的直角坐标方程为
,即
.
(2)设点对应的参数分别为
,则
,
,将直线
的参数方程
(
参数),代入
的直角坐标方程
中,整理得
.
由韦达定理得,
,
所以,当且仅当
时,等号成立,则
,
所以当取得最小值时,直线
的普通方程为
.
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