题目内容
【题目】已知函数,
(1)若,求函数
的极值及单调区间;
(2)若在区间上至少存在一点
,使
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 时,
有极小值
,无极大值,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,(2)
【解析】试题分析:(1)当时,求得
,根据
和
的解集,即可得到函数的单调区间;
(2)若在区间上存在一点
,使得
成立,转化为
在区间
上的最小值小于0,当
时,
在区间
上的最小值为
,进而根据
和
分类讨论,即可确定实数
的取值范围.
试题解析:
(1)当时,
,令
,解得
,又函数
的定义域为
,由
,得
,由
,得
,所以
时,
有极小值
,无极大值,所以
的单调递增区间为
,单调递减区间为
(2)若在区间上存在一点
,使得
成立,即
在区间
上的最小值小于0.
,且
,令
,得到
当,即
时,
恒成立,即
在区间
上单调递减故
在区间上的最小值为
,
由,得
,
,当
即
时,
①若,则
对
成立,所以
在区间
上单调递减
则在区间
上的最小值为
,
显然, 在区间
的最小值小于0不成立.②若
,即
时,则有
- | 0 | + | |
极小值 |
所以在区间
上的最小值为
,由
,得
,解得
,即
,
综上,由①②可知, 符题意.
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