题目内容

11.已知函数f(x)=a+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$(a∈R)
(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(Ⅱ)用定义法判断函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若当x∈[-1,5]时,f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)由函数f(x)为定义在R上的奇函数,得f(0)=a+1=0,得a=-1,验证当a=-1时,f(x)为奇函数,则a值可求;
(Ⅱ)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,由f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)可得f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
(Ⅲ)当x∈[-1,5]时,由f(x)为减函数求出函数的最大值,再由f(x)≤0恒成立,得${f_{max}}(x)=\frac{4}{3}+a≤0$,从而求得$a≤-\frac{4}{3}$.

解答 解:(Ⅰ)若函数f(x)为奇函数,
∵x∈R,∴f(0)=a+1=0,得a=-1,
验证当a=-1时,f(x)=-1+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$为奇函数,
∴a=-1;
(Ⅱ)∵$f(x)=a+\frac{2}{{{2^x}+1}}$,任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
则$f({x_1})-f({x_2})=\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{{{2^{{x_2}+1}}-{2^{{x_1}+1}}}}{{({2^{x_1}}+1)({2^{x_2}}+1)}}$,
由x1<x2得:x1+1<x2+1,
∴${2^{{x_1}+1}}<{2^{{x_2}+1}}$,${2^{{x_2}+1}}-{2^{{x_1}+1}}>0$.
故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数;
(Ⅲ)当x∈[-1,5]时,
∵f(x)为减函数,∴${f_{max}}(x)=f(-1)=\frac{4}{3}+a$,
若f(x)≤0恒成立,则满足${f_{max}}(x)=\frac{4}{3}+a≤0$,
得$a≤-\frac{4}{3}$.

点评 本题考查函数的性质,考查了恒成立问题,训练了利用函数的单调性求函数最值,是中档题.

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